问题描述：
在实际生活中，我们经常会遇到一些优化问题，简单的线性规划可以作图求解，但是对于目标函数包含二次项时，则需要另觅它法
在金融实践中，马科维茨均方差模型就有实际的二次优化需求
作为金融实践中常用的方法，本篇将对CVXOPT中求解二次规划的问题进行举例详细说明，关于该方法在均方差优化中的实践应用，参见后续发帖
1、二次规划问题的标准形式
min12xTPx+qTx
s.t.Gx≤h
Ax=b
上式中，x为所要求解的列向量,xT表示x的转置
接下来，按步骤对上式进行相关说明：
上式表明，任何二次规划问题都可以转化为上式的结构，事实上用cvxopt的第一步就是将实际的二次规划问题转换为上式的结构，写出对应的P、q、G、h、A、b
目标函数若为求max，可以通过乘以−1，将最大化问题转换为最小化问题
Gx≤b表示的是所有的不等式约束，同样，若存在诸如x≥0的限制条件，也可以通过乘以−1转换为"≤"的形式
Ax=b表示所有的等式约束
2、以一个标准的例子进行过程说明
min(x,y)12x2+3x+4y
s.t.x,y≥0
x+3y≥15
2x+5y≤100
3x+4y≤80
例子中，需要求解的是x,y，我们可以把它写成向量的形式，同时，也需要将限制条件按照上述标准形式进行调整，用矩阵形式表示，如下所示：
min(x,y)12[xy]T[1000][xy]+[34]T[xy]
[−10 0−1 \-1−3 25 34][xy]≤⎡⎣⎢⎢⎢00 \-1510080⎤⎦⎥⎥⎥
如上所示，目标函数和限制条件均转化成了二次规划的标准形式，这是第一步，也是最难的一步，接下来的事情就简单了 对比上式和标准形式，不难得出：
P=[1000]，q=[34]，G=[−10 0−1 \-1−3 25 34]，h=⎡⎣⎢⎢⎢00 \-1510080⎤⎦⎥⎥⎥
接下来就是几行简单的代码，目的是告诉计算机上面的参数具体是什么
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from cvxopt import solvers, matrix cvxopt import solvers, matrix
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P = matrix([[1.0,0.0],[0.0,0.0]]) # matrix里区分int和double，所以数字后面都需要加小数点 = matrix([[1.0,0.0],[0.0,0.0]]) # matrix里区分int和double，所以数字后面都需要加小数点
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q = matrix([3.0,4.0]) = matrix([3.0,4.0])
4
G = matrix([[-1.0,0.0,-1.0,2.0,3.0],[0.0,-1.0,-3.0,5.0,4.0]]) = matrix([[-1.0,0.0,-1.0,2.0,3.0],[0.0,-1.0,-3.0,5.0,4.0]])
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h = matrix([0.0,0.0,-15.0,100.0,80.0]) = matrix([0.0,0.0,-15.0,100.0,80.0])
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sol = solvers.qp(P,q,G,h) # 调用优化函数solvers.qp求解 = solvers.qp(P,q,G,h) # 调用优化函数solvers.qp求解
8
print sol['x'] # 打印结果，sol里面还有很多其他属性，读者可以自行了解 sol['x'] # 打印结果，sol里面还有很多其他属性，读者可以自行了解
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pcost dcost gap pres dres
0: 1.0780e+02 -7.6366e+02 9e+02 1e-16 4e+01 1: 9.3245e+01 9.7637e+00 8e+01 1e-16 3e+00 2: 6.7311e+01 3.2553e+01 3e+01 6e-17 1e+00 3: 2.6071e+01 1.5068e+01 1e+01 2e-16 7e-01 4: 3.7092e+01 2.3152e+01 1e+01 2e-16 4e-01 5: 2.5352e+01 1.8652e+01 7e+00 8e-17 3e-16 6: 2.0062e+01 1.9974e+01 9e-02 6e-17 3e-16 7: 2.0001e+01 2.0000e+01 9e-04 6e-17 3e-16 8: 2.0000e+01 2.0000e+01 9e-06 9e-17 2e-16 Optimal solution found. [ 7.13e-07] [ 5.00e+00]
看了上面的代码，是不是觉得很简单。因为难点不在代码，而是在于将实际优化问题转化为标准形式的过程 在上面的例子中，并没有出现等号，当出现等式约束时，过程一样，找到A,b，然后运行代码 sol = solvers.qp(P,q,G,h,A,b) 即可求解扩展：上述定义各个矩阵参数用的是最直接的方式，其实也可以结合Numpy来定义上述矩阵
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from cvxopt import solvers, matrix cvxopt import solvers, matrix
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import numpy as np numpy as np
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P = matrix(np.diag([1.0,0])) # 对于一些特殊矩阵，用numpy创建会方便很多（在本例中可能感受不大） = matrix(np.diag([1.0,0])) # 对于一些特殊矩阵，用numpy创建会方便很多（在本例中可能感受不大）
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q = matrix(np.array([3.0,4])) = matrix(np.array([3.0,4]))
6
G = matrix(np.array([[-1.0,0],[0,-1],[-1,-3],[2,5],[3,4]])) = matrix(np.array([[-1.0,0],[0,-1],[-1,-3],[2,5],[3,4]]))
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h = matrix(np.array([0.0,0,-15,100,80])) = matrix(np.array([0.0,0,-15,100,80]))
8
sol = solvers.qp(P,q,G,h) = solvers.qp(P,q,G,h)
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pcost dcost gap pres dres
0: 1.0780e+02 -7.6366e+02 9e+02 1e-16 4e+01 1: 9.3245e+01 9.7637e+00 8e+01 1e-16 3e+00 2: 6.7311e+01 3.2553e+01 3e+01 6e-17 1e+00 3: 2.6071e+01 1.5068e+01 1e+01 2e-16 7e-01 4: 3.7092e+01 2.3152e+01 1e+01 2e-16 4e-01 5: 2.5352e+01 1.8652e+01 7e+00 8e-17 3e-16 6: 2.0062e+01 1.9974e+01 9e-02 6e-17 3e-16 7: 2.0001e+01 2.0000e+01 9e-04 6e-17 3e-16 8: 2.0000e+01 2.0000e+01 9e-06 9e-17 2e-16 Optimal solution found.
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