一个关于兑换零钱的豆瓣笔试题
一个关于兑换零钱的豆瓣笔试题
前几天做了个豆瓣笔试题，时间是90分钟，共有6题，要做4道，难度如果没看过类似的着实做起来太慢了。由于豆瓣上面的邮件说不要泄露（还有人会在后期笔试），所以拖到现在才写博客。我先把题目贴出来：将10000块钱兑换成由5000块、2000块、1000块、500块、100块、50块、10块、5块、1块的组成的零钱，问有多少种兑换方式？
这个题，如果朋友们没做过，或许最开始就跟我一样，钱有9种，就做个9重循环，各层累加，当总钱等于10000时就计数器加1，这样是很简单没错，可惜在这数据量的前提下，我用c跑了5、6分钟也没跑出来，于是中止了这种天真的想法。但是还是有必要提下完成这种笨方法时需要用到的基础数据结构，后面我们会对它们进行改进：
一个用于记录各种钱(金额)的数据：y[9]；
一个用于统计各种钱(数量)的数组：x[9]，初始为0；
一个用于标示各种钱(数量上限)的数组：z[9]；
一个用于统计从父循环[i]进入子循环[i+1]时(总金额)的数组：sum[9]，i= 0 to 8；这里我需要重点说明，这个数组是必然需要的，一定得保存上层循环进入下层循环时的初始总金额数，否则当下层循环[i+1]执行完毕返回[i]时就无法知道[i]循环内正确的总金额初值了（除非你把[ 0 ~ i-1 ]层的都算一次加起来）。
接下来，我讲下想到的几个优先考虑的改进：
1、最外层循环应该是最大的数，也就是5000块，内层的依次递减。
这种方式可以使步进更大，而且与后面的第3点配合是非常优秀的省时方法，于是令y[] = {5000,2000,1000,500,100,50,10,5,1}，z[] = {3,6,11,21,101,201,1001,2001,10001}；
2、各层循环应该增加临界条件，当发现总数大于或等于时应该返回上层循环。
如果只是按照z[]中的极限临界条件来做循环，明显会有非常多的无用功，所以应该在各层循环内部，判断总钱数是否已经大于、等于10000，如果大于就break到上层循环，如果等于就先计数器加1，再返回上层循环。
3、最底层循环不执行（1块钱）
前面i = 0 to 7层循环分别把5000、2000、1000、500、100、50、10、5块的都算过了，等到了i=8层，也就是算1块钱的数量时就可以直接跳过了，因为反正会有一个数量能满足累加和正好等于10000，所以前面实际上的x[]、y[]、z[]的大小都只要8就行了。这一点可以把循环次数上限最大的（10000次）的那重循环给省略掉，能大大加快计算时间，这时循环由9重循环减到8重。
经过上面3点改进，心想这下应该快了吧，哪知道也花了两分多钟才出结果，仔细思考，觉得最大的问题还是在 第2点 ，临界条件的判断上，使用2中的方法，会导致各层循环都有判断操作（大于、等于、小于），会影响执行效率，这是需要改善的问题，目前来说，第2点的实现方式有三种：
1 // 方式1
2 ...
3 for (x[ 4 ]= 0 ;x[ 4 ]<z[ 4 ];++x[ 4 ])
4 {
5 sum[ 4 ]=sum[ 3 ]+x[ 4 ]*y[ 4 ];
6 if (sum[ 4 ]< 10000 ) ;
7 else if (sum[ 4 ]== 10000 ) { ++count; break ; }
8 else break ;
9 for (x[ 5 ]= 0 ;x[ 5 ]<z[ 5 ];++x[ 5 ])
10 {
11 ...
12 }
13 }
14 ...
15
16 // 方式2
17 ...
18 for (x[ 4 ]= 0 ;x[ 4 ]<z[ 4 ];++x[ 4 ])
19 {
20 sum[ 4 ]=sum[ 3 ]+x[ 4 ]*y[ 4 ];
21 if (sum[ 4 ]> 10000 ) break ;
22 for (x[ 5 ]= 0 ;x[ 5 ]<z[ 5 ];++x[ 5 ])
23 {
24 ...
25 }
26 }
27 ...
28
29 // 方式3
30 ...
31 for (x[ 4 ]= 0 ;x[ 4 ]<z[ 4 ];++x[ 4 ])
32 {
33 sum[ 4 ]=sum[ 3 ]+x[ 4 ]*y[ 4 ];
34 if (sum[ 4 ]== 10000 ) { ++count; break ; }
35 else if (sum[ 6 ]> 10000 ) break ;
36 for (x[ 5 ]= 0 ;x[ 5 ]<z[ 5 ];++x[ 5 ])
37 {
38 ...
39 }
40 }
41 ...
42
43 // i=7层代码
44 ...
45 for (x[ 7 ]= 0 ;x[ 7 ]<z[ 7 ];++x[ 7 ])
46 {
47 sum[ 7 ]=sum[ 6 ]+x[ 7 ]*y[ 7 ];
48 if (sum[ 7 ]> 10000 ) break ;
49 ++ count;
50 }
51 ...
这三种都是属于换汤不换药的，它们在最后一层循环执行的代码是一模一样的，在i=0 to 6层执行的判断稍微有点区别，可以从下图看出执行的效率区别：
它们的结果是一致的，但是虽然方式1代码量最多，但是速度却还是快些的（毕竟sum<10000的可能性最大了），不过在这么大的基数前面，这也是浮云了，都在2分半钟的时候才计算完。为了更好的优化 第2点 ，提出下面的第4点改进：
4、改变循环临界条件，通过当前循环来计算下层循环的结束值
前面由于是用z[]来保存各层循环的执行上限，然后再在循环内判断总值是否超过，影响了执行效率，所以考虑：在[i]层循环时，根据当前累积初值sum[i]和下层循环的零钱面值y[i+1]来计算下层循环[i+1]的结束条件z[i+1]，这样就不需要在循环内部不停地进行判断了，改进方式为：
1 // 方式4
2 ...
3 for (x[ 4 ]= 0 ;x[ 4 ]<z[ 4 ];++x[ 4 ])
4 {
5 sum[ 4 ]=sum[ 3 ]+x[ 4 ]*y[ 4 ];
6 z[ 5 ] = ( 10000 -sum[ 4 ])/y[ 5 ]+ 1 ;
7 for (x[ 5 ]= 0 ;x[ 5 ]<z[ 5 ];++x[ 5 ])
8 {
9 ...
10 }
11 }
12 ...
一执行，恩，果断快了不少，只花了一分钟多一点便得到了结果：
至此，我能想到的改进就没有了，因为没看过类似的题，花了不少时间，如果有朋友有更好的方法，欢迎指教讨论（ps:豆瓣招的Python程序员，后来试用Python解这个题目的效率真心比c慢十几倍，反正大概十分钟过去了还没算完，我就手动关了，有耐心的朋友可以去试试，告诉我到底要多久）。最后附上源代码：
大数分解
1 #include <stdio.h>
2 #include <time.h>
3
4 int main()
5 {
6 clock_t start,end;
7 unsigned long long count = 0 ;
8 int x[ 8 ],sum[ 8 ],z[ 8 ];
9 int y[ 8 ]={ 5000 , 2000 , 1000 , 500 , 100 , 50 , 10 , 5 };
10 start = clock();
11 for (x[ 0 ]= 0 ,z[ 0 ]= 3 ;x[ 0 ]<z[ 0 ];++x[ 0 ])
12 {
13 sum[ 0 ]=x[ 0 ]*y[ 0 ];
14 z[ 1 ] = ( 10000 -sum[ 0 ])/y[ 1 ]+ 1 ;
15 for (x[ 1 ]= 0 ;x[ 1 ]<z[ 1 ];++x[ 1 ])
16 {
17 sum[ 1 ]=sum[ 0 ]+x[ 1 ]*y[ 1 ];
18 z[ 2 ] = ( 10000 -sum[ 1 ])/y[ 2 ]+ 1 ;
19 for (x[ 2 ]= 0 ;x[ 2 ]<z[ 2 ];++x[ 2 ])
20 {
21 sum[ 2 ]=sum[ 1 ]+x[ 2 ]*y[ 2 ];
22 z[ 3 ] = ( 10000 -sum[ 2 ])/y[ 3 ]+ 1 ;
23 for (x[ 3 ]= 0 ;x[ 3 ]<z[ 3 ];++x[ 3 ])
24 {
25 sum[ 3 ]=sum[ 2 ]+x[ 3 ]*y[ 3 ];
26 z[ 4 ] = ( 10000 -sum[ 3 ])/y[ 4 ]+ 1 ;
27 for (x[ 4 ]= 0 ;x[ 4 ]<z[ 4 ];++x[ 4 ])
28 {
29 sum[ 4 ]=sum[ 3 ]+x[ 4 ]*y[ 4 ];
30 z[ 5 ] = ( 10000 -sum[ 4 ])/y[ 5 ]+ 1 ;
31 for (x[ 5 ]= 0 ;x[ 5 ]<z[ 5 ];++x[ 5 ])
32 {
33 sum[ 5 ]=sum[ 4 ]+x[ 5 ]*y[ 5 ];
34 z[ 6 ] = ( 10000 -sum[ 5 ])/y[ 6 ]+ 1 ;
35 for (x[ 6 ]= 0 ;x[ 6 ]<z[ 6 ];++x[ 6 ])
36 {
37 sum[ 6 ]=sum[ 5 ]+x[ 6 ]*y[ 6 ];
38 z[ 7 ] = ( 10000 -sum[ 6 ])/y[ 7 ]+ 1 ;
39 for (x[ 7 ]= 0 ;x[ 7 ]<z[ 7 ];++x[ 7 ])
40 {
41 ++ count;
42 }
43 }
44 }
45 }
46 }
47 }
48 }
49 }
50 end = clock();
51 printf( " Count=%lld,Time=%ldms " ,count,end- start);
52 getchar();
53 }
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分类: Algorithms , C++
标签: C++ , 算法
作者： Leo_wl
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